Question

19．如圖所示，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，∠A=∠B=90°，E是AB上一點，且DE=DC，過點C作CF⊥DE，垂足為點F．
（1）猜想：DA與CF的大小關系，并說明理由；
（2）證明：EB=EF．

Answer 1

分析 （1）猜想：DA=CF．只要證明△AED≌△FDC，即可證明．
（2）連接CE．只要證明Rt△CBE≌Rt△CFE即可．

解答 （1）猜想：DA=CF．
證明：∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠AEF．
在△AED和△FDC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠FDC}\\{∠EAD=∠DFC}\\{DE=CD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△FDC（AAS）．
∴DA=CF．

（2）證明：連接CE．
∵DA=CF，AD=BC，
∴CB=CF．
在Rt△CBE和Rt△CFE中
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CF}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△CBE≌Rt△CFE（HL），
∴BE=EF．

點評 本題考查了三角形全等的判定及性質、矩形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．