Question

1．在直角坐標系中，點A₁的坐標為（1，0），過點A₁作x軸的垂線交直線y=2x于A₂，過點A₂作直線y=2x的垂線交x軸于A₃，過點A₃作x軸的垂線交直線y=2x于A₄…，依此規律，則A₂₀₁₆的坐標為（5¹⁰⁰⁷，2×5¹⁰⁰⁷）．

Answer 1

分析 根據直線解析式求出A₁A₂的長，再判斷出△OA₁A₂和△A₂A₃A₁相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出A₁A₃，然后求出OA₃，同理求出A₃A₄，再求出A₃A₅，然后求出OA₅，依此類推求出OA₉，再求出OA₇的長，根據此規律可得出OA₂₀₁₅的長，進而得出結論．

解答 解：∵A₁的坐標為（1，0），過點A₁作x軸的垂線交直線y=2x于A₂，
∴y=2×1=2，
∴A₁A₂=2，
由A₂A₃垂直于直線y=2x，易求△OA₁A₂∽△A₂A₃A₁，
∴$\frac{{A}_{1}{A}_{3}}{{A}_{1}{A}_{2}}$=$\frac{{A}_{1}{A}_{2}}{{OA}_{1}}$，
即$\frac{{A}_{1}{A}_{3}}{2}$=$\frac{2}{1}$，
解得A₁A₃=4，
∴OA₃=1+4=5=5¹，
同理：A₃A₄=2×5=10，
A₃A₅=2A₃A₄=20，
∴OA₅=5+20=25=5²；
A₅A₆=2×25=50，
A₅A₇=2A₅A₆=2×50=100，
∴OA₇=25+100=125=5³；
同理可得，OA₂₀₁₅=${5}^{\frac{2015-1}{2}}$=5²⁰¹⁷，
∴A₂₀₁₅A₂₀₁₆=2×5²⁰¹⁷，
∴A₂₀₁₆的坐標為（5¹⁰⁰⁷，2×5¹⁰⁰⁷）．
故答案為：（5¹⁰⁰⁷，2×5¹⁰⁰⁷）．

點評 本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特點，根據題意找出OA₁，OA₃，OA₅之間的規律是解答此題的關鍵．