Question

如圖，已知⊙O中，弦BC=8，A是的中點(diǎn)，弦AD與BC交于點(diǎn)E，AE=5，ED=，M為上的動(dòng)點(diǎn)，（不與B、C重合），AM交BC于N．
（1）求證：AB²=AE•AD；
（2）當(dāng)M在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)AN•AM、AN•NM中有沒(méi)有值保持不變的？若有的話，試求出此定值；若不是定值，請(qǐng)求出其最大值；
（3）若F是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)A交⊙O于G，當(dāng)AG=8時(shí)，求sin∠AFB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，由等弧對(duì)等角得∠ABC=∠ABD，故可得△ABE∽△ADB，有即AB²=AE•AD；
（2）連接BM，同（1）可證△ABM∽△ANB，則有即AN•AM=AB²，而AB²=AE•AD，所以AN•AM=AE•AD為定值．由相交弦定理知AN•NM=BN•CN=BN（8-BN）=-（BN-4）²+16，故由二次函數(shù)的性質(zhì)知，AN•NM有最大值為16；
（3）作直徑AH交BC于K，連接GH，由勾股定理可求得AK的值，由相交弦定理知AK•KH=BK•KC求得KH的值，由同角的余角相等知，∠F=∠H，從而有sinF=sinH=AG：AH而求得sinF的值．
解答：（1）證明：連接BD，
∵，
∴∠ABC=∠ADB．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB．
∴．
∴AB²=AE•AD．

（2）解：連接BM，同（1）可證△ABM∽△ANB，
則，
∴AN•AM=AB²．
∴AN•AM=AE•AD==80，
即AN•AM為定值，設(shè)BN=x，則CN=（8-x），
由相交弦定理看得：AN•NM=BN•CN=x（8-x）=-x²+8x=-（x-4）²+16，（8分）
故當(dāng)BN=X=4時(shí)，AN•NM有最大值為16．

（3）解：過(guò)點(diǎn)A作直徑AH交BC于K，連接GH，
∵A是的中點(diǎn)，
∴AH⊥BC，且BK=KC=4．
∴AK²=AB²-BK²=80-16=64．
∴AK=8．
又由AK•KH=BK•KC得：．
∴AH=10．
又∵∠AGH=∠BKA=90°，且∠GAH=∠KAF，
∴∠F=∠H．（11分）
∴sinF=sinH===．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，相交弦定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，同角的余角相等，正弦的概念求解．