Question

如圖，已知⊙O中，弦BC=8，A是

BAC

的中點，弦AD與BC交于點E，AE=5

3

，ED=

3

3

，M為

BDC

上的動點，（不與B、C重合），AM交BC于N．
（1）求證：AB²=AE•AD；
（2）當M在

BDC

上運動時，問AN•AM、AN•NM中有沒有值保持不變的？若有的話，試求出此定值；若不是定值，請求出其最大值；
（3）若F是CB延長線上一點，FA交⊙O于G，當AG=8時，求sin∠AFB的值．

Answer 1

分析：（1）連接BD，由等弧對等角得∠ABC=∠ABD，故可得△ABE∽△ADB，有

AB

AE

=

AD

AB

即AB²=AE•AD；
（2）連接BM，同（1）可證△ABM∽△ANB，則有

AB

AM

=

AN

AB

即AN•AM=AB²，而AB²=AE•AD，所以AN•AM=AE•AD為定值．由相交弦定理知AN•NM=BN•CN=BN（8-BN）=-（BN-4）²+16，故由二次函數的性質知，AN•NM有最大值為16；
（3）作直徑AH交BC于K，連接GH，由勾股定理可求得AK的值，由相交弦定理知AK•KH=BK•KC求得KH的值，由同角的余角相等知，∠F=∠H，從而有sinF=sinH=AG：AH而求得sinF的值．

解答：（1）證明：連接BD，
∵

AB

=

AC

，
∴∠ABC=∠ADB．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB．
∴

AB

AE

=

AD

AB

．
∴AB²=AE•AD．

（2）解：連接BM，同（1）可證△ABM∽△ANB，
則

AB

AM

=

AN

AB

，
∴AN•AM=AB²．
∴AN•AM=AE•AD=5

3

(

3

3

+5

3

)=80，
即AN•AM為定值，設BN=x，則CN=（8-x），
由相交弦定理看得：AN•NM=BN•CN=x（8-x）=-x²+8x=-（x-4）²+16，（8分）
故當BN=x=4時，AN•NM有最大值為16．

（3）解：過點A作直徑AH交BC于K，連接GH，
∵A是

BAC

的中點，
∴AH⊥BC，且BK=KC=4．
∴AK²=AB²-BK²=80-16=64．
∴AK=8．
又由AK•KH=BK•KC得：KH=

4×4

8

=2．
∴AH=10．
又∵∠AGH=∠BKA=90°，且∠GAH=∠KAF，
∴∠F=∠H．（11分）
∴sinF=sinH=

AG

AH

=

8

10

=

4

5

．

點評：本題利用了相似三角形的判定和性質，圓周角定理，勾股定理，相交弦定理，二次函數的性質，直角三角形的性質，同角的余角相等，正弦的概念求解．