Question

（2010•內江）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點E在斜邊AB上，以AE為直徑的⊙O與BC相切于點D．
（1）求證：AD平分∠BAC．
（2）若AC=3，AE=4．
①求AD的值；②求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接DE，OD．利用弦切角定理，直徑所對的圓周角是直角，等角的余角相等證明∠DAO=∠CAD，進而得出結論；
（2）由三角形相似可以算出AD，陰影部分的面積等于扇形的面積-三角形的面積．
解答：（1）證明：連接DE，OD．
∵BC相切⊙O于點D，
∴∠CDA=∠AED．（1分）
AE為直徑，∠ADE=90°，
AC⊥BC，∠ACD=90°，
∴∠DAO=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．

（2）解：①∵AE為直徑，
∴∠ADE=∠C=90°．
又由（1）知∠DAO=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
∵AC=3，AE=4，
∴，
∴．
②在Rt△ADE中，，
∴∠DAE=30°．
∴∠AOD=120°，DE=2．
∴==，
∴S_陰影=S_扇形AOD-S_△AOD=．
點評：本題主要考查扇形面積的計算和弦切角定理，三角形相似的判定與性質．