Question

（2010•內江）如圖，拋物線y=mx²-2mx-3m（m＞0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．
（1）請求出拋物線頂點M的坐標（用含m的代數式表示），A、B兩點的坐標；
（2）經探究可知，△BCM與△ABC的面積比不變，試求出這個比值；
（3）是否存在使△BCM為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將拋物線的解析式化為頂點坐標式，即可得到頂點M的坐標；拋物線的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐標．
（2）易求得C點坐標，即可得到OC的長，以AB為底，OC為高，即可求出△ABC的面積；△BCM的面積無法直接求得，可用割補法求解，過M作MD⊥x軸于D，根據B、C、M四點坐標，可分別求出梯形OCMD、△BDM的面積，它們的面積和減去△BOC的面積即為△BCM的面積，進而可得到△ABC、△BCM的面積比．
（3）首先根據B、C、M的坐標，求出BC²、BM²、CM²的值，由于△BCM中，B、C、M都有可能是直角頂點，所以要分三種情況討論：①∠BCM=90°，②∠BMC=90°，③∠MBC=90°，在上述三種不同的直角三角形中，利用勾股定理可求得m的值，進而可確定拋物線的解析式．
解答：解：（1）∵y=mx²-2mx-3m=m（x²-2x-3）=m（x-1）²-4m，
∴拋物線頂點M的坐標為（1，-4m）；（2分）
∵拋物線y=mx²-2mx-3m（m＞0）與x軸交于A、B兩點，
∴當y=0時，mx²-2mx-3m=0，
∵m＞0，
∴x²-2x-3=0；
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A、B兩點的坐標為（-1，0）、（3，0）．（4分）

（2）當x=0時，y=-3m，
∴點C的坐標為（0，-3m）．
∴．（5分）
過點M作MD⊥x軸于點D，則OD=1，BD=OB-OD=2，
MD=|-4m|=4m．
∴S_△BCM=S_△BDM+S_梯形OCMD-S_△OBC
=
=
=3m．（7分）
∴S_△BCM：S_△ABC=1：2，（8分）
故答案為：；

（3）存在使△BCM為直角三角形的拋物線；
過點C作CN⊥DM于點N，則△CMN為Rt△，CN=OD=1，DN=OC=3m，
∴MN=DM-DN=m．
∴CM²=CN²+MN²=1+m²；
在Rt△OBC中，BC²=OB²+OC²=9+9m²，
在Rt△BDM中，BM²=BD²+DM²=4+16m²；
①如果△BCM是Rt△，且∠BMC=90°，那么CM²+BM²=BC²，
即1+m²+4+16m²=9+9m²，
解得，
∵m＞0，∴．
∴存在拋物線y=x²-x-使得△BCM是Rt△；（10分）
②如果△BCM是Rt△，且∠BCM=90°，那么BC²+CM²=BM²，
即9+9m²+1+m²=4+16m²，
解得m=±1，
∵m＞0，
∴m=1；
∴存在拋物線y=x²-2x-3，使得△BCM是Rt△；
③如果△BCM是Rt△，且∠CBM=90°，那么BC²+BM²=CM²，
即9+9m²+4+16m²=1+m²，整理得，此方程無解；
∴以∠CBM為直角的直角三角形不存在；
綜上所述，存在拋物線y=x²-x-和y=x²-2x-3，使得△BCM是Rt△．（12分）
點評：此題考查了二次函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、圖形面積的求法、勾股定理、直角三角形的判定等知識；需要注意的是（3）題中，由于直角三角形的直角頂點不確定，一定要分類討論，以免漏解．