Question

如圖，AE是△ABC外接圓O的直徑，AD是△ABC的邊BC上的高，EF⊥BC，F為垂足．
（1）求證：BF=CD；
（2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）過O作OM⊥BC于M，易得AD∥OM∥EF，由于AO=OE，根據平行線分線段成比例定理可得DM=FM；由垂徑定理知：BM=CM，即可證得CD=BF．
（2）首先由勾股定理求得AB、AC的長，連接BE，通過相似三角形△ACD∽△AEB得到的比例線段，即可求得⊙O的直徑．

解答：（1）證明：過O作OM⊥BC于M，則CM=BM；
∵AD⊥BC，EF⊥BC，OM⊥BC，
∴AD∥OM∥EF，
又∵OA=OE，
∴DM=MF，故CM-DM=BM-MF，即BF=CD．

（2）解：連接BE，則∠ABE=90°；
在Rt△ABD中，AD=3，BD=6，由勾股定理得：
AB=

AD2+BD2

=3

5

；
同理可求得：AC=

10

．
∵∠C=∠AEB，∠ADC=∠ABE=90°，
∴△ADC∽△ABE，
∴

AD

AB

=

AC

AE

，即

3

3 5

=

10

AE

，解得AE=5

2

；
即⊙O的直徑為5

2

．

點評：此題主要考查了三角形的外接圓、平行線分線段成比例定理、垂徑定理、圓周角定理、勾股定理以及相似三角形的判定和性質，綜合性強，難度適中．