Question

如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E是CD的中點，連接OE,過點C作CF∥BD，交線段DE的延長線于點F，連接DF。求證：

（1）ΔODE≌ΔFCE

（2）四邊形ODFC是菱形

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ODE=∠FCE，根據線段中點的定義可得CE=DE，然后利用“角邊角”證明△ODE和△FCE全等；

（2）根據全等三角形對應邊相等可得OD=FC，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ODFC是平行四邊形，根據矩形的對角線互相平分且相等可得OC=OD，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．

試題解析：證明：（1）∵CF∥BD，

∴∠ODE=∠FCE，

∵E是CD中點，

∴CE=DE，

在△ODE和△FCE中，

，

∴△ODE≌△FCE（ASA）；

（2）∵△ODE≌△FCE，

∴OD=FC，

∵CF∥BD，

∴四邊形ODFC是平行四邊形，

在矩形ABCD中，OC=OD，

∴四邊形ODFC是菱形．

考點：1.矩形的性質；2.全等三角形的判定與性質；3.菱形的判定．