Question

【題目】如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．

（1）求證：四邊形EFDG是菱形；

（2）探究線段EG、GF、AF之間的數量關系，并說明理由；

（3）若AG=6，EG=2，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EG2=GFAF．理由見解析；（3）BE=．

【解析】

（1）先依據翻折的性質和平行線的性質證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來依據翻折的性質可證明DG=GE=DF=EF；（2）連接DE，交AF于點O．由菱形的性質可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下來，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質可證明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的數量關系；（3）過點G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結論可求得FG=4，然后再△ADF中依據勾股定理可求得AD的長，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質可求得GH的長，最后依據BE=AD-GH求解即可．

（1）證明：∵GE∥DF，

∴∠EGF=∠DFG．

∵由翻折的性質可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，

∴∠DGF=∠DFG．

∴GD=DF．

∴DG=GE=DF=EF．

∴四邊形EFDG為菱形．

（2）EG2=GFAF．

理由：如圖1所示：連接DE，交AF于點O．

∵四邊形EFDG為菱形，

∴GF⊥DE，OG=OF=GF．

∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴，即DF2=FOAF．

∵FO=GF，DF=EG，

∴EG2=GFAF．

（3）如圖2所示：過點G作GH⊥DC，垂足為H．

∵EG2=GFAF，AG=6，EG=2，

∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．

解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．

∵DF=GE=2，AF=10，

∴AD==4．

GH⊥DC，AD⊥DC，

∴GH∥AD．

∴△FGH∽△FAD．

∴，即=．

∴GH=．

∴BE=AD﹣GH=4﹣=．