Question

【題目】如圖①,拋物線的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，連接，二次函數的對稱軸與軸的交于點，作射線．

拋物線的解析式為 ； 點坐標為_ ；

求證：射線是的角平分線；

如圖②，點是的正半軸上一點，過點作軸的平行線，與直線交于點，與拋物線交于點，連結，將沿翻折，的對應點為．在圖②中探究；是否存在點，使褥恰好落在軸的正半軸上?若存在，請求出的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）存在，

【解析】

（1）根據點，的坐標，利用待定系數法即可求出二次函數的表達式；把拋物線的表達式化成頂點式得到點的坐標；

（2）過點作，垂足為點，先計算出OC、BC、BE的長度，再利用三角函數計算出EF的長度，證得，從而證出射線是的角平分線；

（3）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點的坐標，由點，的坐標利用待定系數法可求出直線的函數表達式，由點的坐標可得出點，的坐標，進而可得出的長度，結合點的坐標可得出的長度，由菱形的性質可得出，進而可得出關于的一元二次方程，解之即可得出的值（取正值），進而可得出點的坐標；

解：（1）將，代入，得：

，解得：，

二次函數的表達式為．

如圖①，過點作，垂足為點

在中，

是的角平分線

存在

如圖②，由題意，得

,

當時，，

點的坐標為．

設直線的解析式為

將代入

得

直線的解析式為

點

點落在軸的正半軸上

點在直線上方

過點作,垂足為點,

解得（舍棄），