Question

1．關于x的一元二次方程（m²-4）x²+（2m+3）x+1=0．
①若此方程有解，試求m的取值范圍；
②是否存在實數m，使此方程的兩根的倒數和為7？若存在，請求出m的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 ①根據一元二次方程的定義和判別式的意義得到m²-4≠0且△=（2m+3）²-4（m²-4）≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可；
②設方程的兩根為x₁、x₂，根據根與系數的關系可得出x₁+x₂=-$\frac{2m+3}{{m}^{2}-4}$、x₁•x₂=$\frac{1}{{m}^{2}-4}$，$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$變形為$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，代入數據即可得出關于m的分式方程，解方程經檢驗后即可得出結論．

解答 解：①根據題意得m²-4≠0且△=（2m+3）²-4（m²-4）≥0，
解得m≥-$\frac{25}{12}$且m≠±2；
②設方程的兩根為x₁、x₂，
根據根與系數的關系可得出
x₁+x₂=-$\frac{2m+3}{{m}^{2}-4}$、x₁•x₂=$\frac{1}{{m}^{2}-4}$，$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-2m-3=7，
∴m=-5．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的定義．