Question

16．已知?ABCD的對角線AC，BD交于點O，M為OD上一點，過點M的直線分別交AD，CD于P、Q兩點，與BA，BC的延長線于E，F兩點．

（1）如圖1，若M為OD的中點，EF∥AC，求證：PE=FQ；
（2）如圖2，若M為OD的中點，EF與AC不平行時，求證：PE+FQ=2PQ；
（3）如圖3，若BM=nDM，EF與AC不平行時，求PE，PF，PQ三者之間滿足的等量關系（請用含n的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形EACQ和ACFP是平行四邊形，得EQ=FP，利用等式的性質可以得出結論；
（2）過O點作ON∥AD交EF于N，則ON是梯形CFPA的中位線，由梯形中位線的性質定理得出AP+CF=2ON，再利用AAS證明△OMN≌△DMP，得出ON=PD，則AP+CF=2PD．然后由CF∥PD，根據平行線分線段成比例定理得出：$\frac{QF}{QP}$=$\frac{CF}{PD}$和$\frac{PE}{PQ}$=$\frac{AP}{PD}$，將兩個式子相加，化簡整理后得出QF+PE=2PQ；
（3）若BM=nDM，則有$\frac{OM}{DM}=\frac{n-1}{2}$，所以$\frac{ON}{PD}=\frac{OM}{DM}=\frac{n-1}{2}$，結合（2）即可得到答案．

解答 證明：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵AC∥EF，
∴四邊形EACQ是平行四邊形，
∴AC=EQ，
同理可得：四邊形ACFP是平行四邊形，
∴AC=FP，
∴EQ=FP，
∴EQ-PQ=FP-PQ，
即PE=FQ；
（2）若EF與AC不平行，如圖2，過O點作ON∥AD交EF于N，
則ON是梯形CFPA的中位線，
則AP+CF=2ON．
易證△OMN≌△DMP，
∴ON=PD，
∴AP+CF=2PD，
∵CF∥PD，
∴$\frac{QF}{QP}$=$\frac{CF}{PD}$，
∵DQ∥AE，
∴$\frac{PE}{PQ}$=$\frac{AP}{PD}$，
∴$\frac{QF}{QP}+\frac{PE}{QP}$=$\frac{CF}{PD}+\frac{AP}{PD}$，
即：$\frac{QF+PE}{PQ}$=$\frac{CF+AP}{PD}$=$\frac{2PD}{PD}$=2，
∴PE+FQ=2PQ；
（3）若BM=nDM，則有$\frac{OM}{DM}=\frac{n-1}{2}$，
∵ON∥PD，
∴$\frac{ON}{PD}=\frac{OM}{DM}=\frac{n-1}{2}$，
由（2）知道，$\frac{QF+PE}{PQ}=\frac{CF+AP}{PD}$=$\frac{2ON}{PD}$=n-1，
∴$\frac{QF}{QP}+\frac{PE}{QP}$=$\frac{CF}{PD}+\frac{AP}{PD}$，
即：$\frac{QF+PE}{PQ}$=$\frac{CF+AP}{PD}$=$\frac{2ON}{PD}$=n-1，
∴QF+PE=（n-1）PQ，
∵QF=PF-PQ，
∴PF-PQ+PE=nPQ-PQ，
∴PF+PE=nPQ．

點評 本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，梯形的中位線定理，平行線分線段成比例定理，有一定難度；（2）中正確地作出輔助線，利用平行線分線段成比例定理得出比例式是解題的關鍵．