Question

16．如圖，這些幾何體都是簡(jiǎn)單幾何體，請(qǐng)你仔細(xì)觀察．

（1）認(rèn)真統(tǒng)計(jì)每個(gè)幾何體的棱數(shù)（E）、面數(shù)（F）、頂點(diǎn)數(shù)（V），完成表．

幾何體	a	b	c	d	e
棱數(shù)（E）	6	8	9	12	15
面數(shù)（F）	4	5	5	6	7
頂點(diǎn)數(shù)（V）	4	5	6	8	10

（2）觀察表，不難發(fā)現(xiàn)：
①簡(jiǎn)單幾何體中，每條棱都是2個(gè)面的公共邊；
②在幾何體c、d、e中，每個(gè)頂點(diǎn)處有3條棱，每條棱都有2個(gè)頂點(diǎn)，所以有2×E=3×V；
③簡(jiǎn)單幾何體中，V、F、E之間滿足后面的關(guān)系式：V+F-E=2．
（3）應(yīng)用（2）題結(jié)論解答：有一個(gè)叫“正十二面體”的簡(jiǎn)單幾何體，它有十二個(gè)面，每個(gè)面都是正五邊形，它的每個(gè)頂點(diǎn)處都有相同數(shù)目的棱．則它共有30條棱，共有20個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處有3條棱．
（4）將（3）題的解題過(guò)程簡(jiǎn)要敘述在后面．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)觀察圖形可得；
（2）根據(jù)頂點(diǎn)與棱的關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)正十二邊形有十二個(gè)面，每個(gè)面是五邊形，每條棱為兩個(gè)面共用，可得楞數(shù)，再根據(jù)棱與頂點(diǎn)的關(guān)系，可得頂點(diǎn)數(shù)；
（4）利用（3）中所得結(jié)論解答．

解答 解：（1）如下所示：

幾何體	a	b	c	d	e
棱數(shù)（E）	6	8	9	12	15
面數(shù)（F）	4	5	5	6	7
頂點(diǎn)數(shù)（V）	4	5	6	8	10

（2）①簡(jiǎn)單幾何中，每條棱都是2個(gè)面的公共邊；
②在幾何體c、d、e中，每個(gè)頂點(diǎn)處有3條棱，每條棱都有2個(gè)頂點(diǎn)，所以有2×E=3×V；
③簡(jiǎn)單幾何體中，V、F、E之間滿足后面的關(guān)系式：V+F-E=2；
故答案為：①2；②3，2；③2；

（3）有一個(gè)叫“正十二面體”的簡(jiǎn)單幾何體，它有十二個(gè)面，每個(gè)面都是正五邊形，它的每個(gè)頂點(diǎn)處都有相同數(shù)目的棱．則它有30條棱，20個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處有3條棱；
故答案為：30，20，3；

（4）正十二面體的棱數(shù)E=30、頂點(diǎn)數(shù)V=20和面數(shù)F=12滿足：20+12-2=30，即V+F-2=E．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歐拉公式，頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2，注意2×E=3×V．