Question

12．已知，在三角形ABC中，點D在BC上，DE⊥AB于E，點F在AB上，在CF的延長線上取一點G，連接AG．
（1）如圖1，若∠GAB=∠B，∠GAC+∠EDB=180°，求證：AB⊥AC．
（2）如圖2．在（1）的條件下，∠GAC的平分線交CG于點M，∠ACB的平分線交AB于點N，當∠AMC-∠ANC=35°時，求∠AGC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的判定和性質可得∠GAC+∠ACB=180°，根據(jù)等量關系可得∠EDB=∠ACB，根據(jù)平行線的判定和性質可得AB⊥AC．
（2）根據(jù)余角的性質可得∠MAB=∠ACN，根據(jù)三角形外角的性質、角平分線的性質和平行線的性質可得∠AGC的度數(shù)．

解答 解：（1）∵∠GAB=∠B，
∴GA∥BC，
∴∠GAC+∠ACB=180°，
∵∠GAC+∠EDB=180°，
∴∠EDB=∠ACB，
∴ED∥AC，
∵DE⊥AB，
∴AB⊥AC．
（2）∵∠GAC的平分線交CG于點M，∠ACB的平分線交AB于點N，
∴∠ACN+∠MAC=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∵∠MAB+∠MAC=∠ACN+∠MAC=90°，
∴∠MAB=∠ACN=∠NCB，
∵∠AMC-∠ANC=35°，
∴∠BAM+∠NCG=∠BCG=35°，
∵GA∥BC，
∴∠AGC=35°．

點評 本題考查的是三角形的內角和定理，平行線的判定與性質，三角形外角的性質、角平分線的性質掌握三角形內角和等于180°是解題的關鍵．