Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，邊AB與y軸交于點C.

（1）若∠A=∠AOC，試說明：∠B=∠BOC；

（2）延長AB交x軸于點E，過O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，求∠A的度數；

（3）如圖，OF平分∠AOM，∠BCO的平分線交FO的延長線于點P，∠A=40°，當△ABO繞O點旋轉時（邊AB與y軸正半軸始終相交于點C），問∠P的度數是否發生改變？若不變，求其度數；若改變，請說明理由.

Answer 1

【答案】⑴見解析（2）30°（3）∠P的度數不變,∠P=25°，理由見解析

【解析】解⑴∵△AOB是直角三角形

∴∠A＋∠B=90°,∠AOC＋∠BOC=90°

∵∠A=∠AOC ∴∠B=∠BOC

⑵∵∠A＋∠ABO=90°,∠DOB＋∠ABO=90°

∴∠A=∠DOB 即∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA

∵∠DOB＋∠EOB＋∠OEA=90° ∴∠A=30°

⑶∠P的度數不變,∠P=25°.

∵∠AOM=90°-∠AOC,∠BCO=∠A＋∠AOC

又OF平分∠AOM,CP平分∠BCO

∴∠FOM=45°-∠AOC,∠PCO=∠A＋∠AOC

∴∠P=180°-(∠PCO＋∠FOM＋90°)=45°-∠A=25°

（1）由直角三角形兩銳角互余及等角的余角相等即可證明；

（2）由直角三角形兩銳角互余、等量代換求得∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠E；然后根據外角定理知∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°；從而求得∠DOB=30°，即∠A=30°；

（3）由角平分線的性質知∠FOM=45°- ∠AOC ①，∠PCO= ∠A+ ∠AOC ②，根據①②解得∠PCO+∠FOM=45°+ ∠A，最后根據三角形內角和定理求得旋轉后的∠P的度數．