Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直角系中，點A、B分別在x軸、y軸上，A（8，0），B（0，6），點P從點B出發，沿BA以每秒1個單位的速度向點A運動，點Q從點A出發，沿AO以每秒1個單位的速度向點O運動，當點Q到達點O時，兩點同時停止運動，設點Q的運動時間為t秒．

（1）用含t的代數式表示C點坐標；

（2）如圖1，連接PQ，過點Q作QC⊥AO交AB于點C，在整個運動過程中，當t為何值時，△CPQ為等腰三角形？

（3）如圖2，以QC為直徑作⊙D，⊙D與AB的另一個公共點為E．問是否存在某一時刻t，使得以BC、CE、AE的長為邊的三角形為直角三角形？若存在，直接寫出一個符合題意的t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）C（，）；（2）或或或；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）根據勾股定理可求出AB=10，易證△AQC∽△AOB，由此可用t的代數式表示出QC、OQ的長，從而解決問題．

（2）可分四種情況（圖a、圖b、圖c、圖d），只需用t的代數式表示出相關線段的長，然后建立方程，就可求出對應t的值．

（3）先用t的代數式表示出BC、CE、AE的長，可證AE＞CE，只需分兩種情況（BC為斜邊、AE為斜邊）進行討論，運用勾股定理建立方程，就可求出符合題意的t的值．

試題解析：（1）∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6．

∵∠AOB=90°，∴AB=10．

∵QC⊥AO，∴∠CQA=90°=∠BOA，∴QC∥OB，∴△AQC∽△AOB．

∴．

∵OA=8，OB=6，AB=10，AQ=t，∴，∴QC=，AC=．

∵OQ=OA﹣AQ=，∴點C的坐標為（，）．

（2）①如圖a，CP=CQ．

∵CP=AB﹣BP﹣AC=，CQ=，∴，解得：．

②如圖b，PC=PQ．

∵∠CQA=90°，∴∠PCQ+∠QAC=90°，∠PQC+∠AQP=90°．

∵PC=PQ，∴∠PCQ=∠PQC，∴∠AQP=∠QAC，∴PQ=PA，∴PC=PA，∴AC=2AP．

∵AC=，AP=，∴．解得：．

③如圖c，CQ=CP．

∵CQ=，CP=，∴，解得：．

④如圖d，QC=QP．

過點Q作QN⊥AC于點N，

則有PN=CN=PC=．

∵QC∥OB，∴∠QCN=∠OBA．

∵∠CNQ=∠BOA=90°，∴△CNQ∽△BOA，∴，∴CN•AB=OB•CQ，∴，

解得：．

綜上所述：當t取或或或時，△CPQ是等腰三角形．

（3）如圖e，連接QE．

∵CQ是⊙D的直徑，∴∠CEQ=90°．∴∠QEA=90°=∠BOA．

∵∠EAQ=∠OAB，∴△QEA∽△BOA，∴．∴AE=．

∴CE=AC﹣AE=，BC=．

∵，∴AE＞CE．∴CE不可能是斜邊．

①BC為斜邊，

則有．∴，整理得：，

解得：，，∵，∴．

②AE為斜邊，

則有．∴．整理得：．

解得：，，∵，∴．

綜上所述：符合題意的t的值為或．

考點：1．圓的綜合題；2．解一元二次方程-公式法；3．等腰三角形的判定與性質；4．相似三角形的判定與性質．