Question

（2003•湘潭）如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC的中點，過O點作直線EF分別交BC、AD于E、F．
（1）求證：BE=DF；
（2）若AC，EF將平行四邊形ABCD分成的四部分的面積相等，指出E點的位置，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證△AOF≌△COE，那么AF=CE，由AD=BC可得BE=DF．
（2）面積相等的四邊形的高與底應該相等，那么利用對角線的互相平分可得到被分成的四個三角形的面積是相等的．
解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴在△AOF與△COE中，
，
∴△AOF≌△COE．
∴AF=CE．
又∵AD=BC，
∴AD-AF=BC-BE，
即BE=DF．

（2）答：當E點與B點重合時，EF將平行四邊形ABCD分成的四個部分的面積相等．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
理由：由△ABO與△AOD等底同高可知面積相等，
同理，△ABO與△BOC的面積相等，△AOD與△COD的面積相等，
從而易知所分成的四個三角形面積相等．
點評：出現上圖時，通常要證新直線所在的三角形全等；需注意利用平行四邊形的對角線互相平分得到被對角線分成的四個三角形的面積相等．