Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線AB：y＝－x＋b分別與x、y軸交于A(3，0)、B兩點．

（1）如圖，求點B的坐標；

（2）點D為線段OB上的動點（點D不與點O重合），以AD為邊，在第一象限內作正方形ADEF．

①如圖，設點D為(0，m)，請用含m的代數式表示點F的坐標；

②如圖，連結EB并延長交x軸于點G．當D點運動時，G點的位置是否發生變化？如果不變，請求出G點的坐標；如果變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）(0，3)；（2）①F(m＋3，3) ，②不變，(－3，0)

【解析】

（1）要求B點坐標，得先求函數表達式，然后代入求值即可．

（2）①根據題意作圖，由正方形的性質證明出△DOA≌△AMF，用m表示各邊長，即可表示出點F的坐標．

②過E作EH⊥x軸于H，由正方形的性質證明出△HDE≌△OAD，進而證出△BHE是等腰直角三角形，即證出△BOG為等腰直角三角形即得到結果．

解： (1)把A(3，0)坐標代入直線AB解析式y＝－x＋b，

得0＝－3＋b，

解得：b＝3，

∴ 直線AB的解析式為y＝－x＋3，

當x＝0時，y＝3，

∴ 點B的坐標是（0，3）；

(2)①過F作FM⊥x軸于M，則∠AMF＝∠AOD＝90°，

∵ 四邊形ADEF正方形，

∴ AD＝AF，∠DAF＝90°，

∴ ∠DAO＋∠FAM=90°，∠AFM＋∠FAM=90°，

∴ ∠DAO＝∠AFM，

∴ △DOA≌△AMF，

∴ FM＝OA＝3，AM＝OD＝m，

∴ OM＝m＋3，

∴ F(m＋3，3) ；

② G點位置不變，坐標為：G（－3，0），

過E作EH⊥x軸于H則∠EHD＝∠DOA＝90°，

∵ 四邊形ADEF正方形，

∴ AD＝DE，∠ADE＝90°，

∴ ∠ADO＋∠HDE＝90°，∠ADO＋∠DAO＝90°，

∴ ∠HDE＝∠OAD，

∴ △HDE≌△OAD

∴ HE＝OD，OA＝DH，

∵ OA＝OB，

∴ DH＝OB，

∴ DH－BD＝BO－BD，

即：BH＝OD，

又HE＝OD，

∴ BH＝HE，

∴ △BHE是等腰直角三角形，

∴ ∠HBE＝45°，

∴ ∠OBG＝45°，

∴ △BOG為等腰直角三角形，

∴ OG＝OB＝3，

∴ G（－3，0）．

方法二：同方法一先證△HDE≌△OAD ，

∴ HE＝OD＝m，OA＝DH＝3，

∴ E(m，m＋3)，

∵ B(0，3)，

設直線BE的解析式為y＝kx＋b

則∵ m＞0，

∴k＝1，

∴ 直線BE的解析式為y＝x＋3，

當y＝0時，x＝－3，

∴ 點G的位置不變，坐標為（－3，0）．