Question

如圖①，②，在平面直角坐標系中，點的坐標為（4，0），以點為圓心，4為半徑的圓與軸交于，兩點，為弦，，是軸上的一動點，連結．

（1）求的度數；

（2）如圖①，當與⊙A相切時，求的長；

（3）如圖②，當點在直徑上時，的延長線與⊙A相交于點，問為何值時，是等腰三角形？

Answer 1

（1）60°．（2）4.（3）2或2+2．

【解析】

試題分析：（1）OA=AC首先三角形OAC是個等腰三角形，因為∠AOC=60°，三角形AOC是個等邊三角形，因此∠OAC=60°；

（2）如果PC與圓A相切，那么AC⊥PC，在直角三角形APC中，有∠PCA的度數，有A點的坐標也就有了AC的長，可根據余弦函數求出PA的長，然后由PO=PA-OA得出OP的值．

（3）本題分兩種情況：

①以O為頂點，OC，OQ為腰．那么可過C作x軸的垂線，交圓于Q，此時三角形OCQ就是此類情況所說的等腰三角形；那么此時PO可在直角三角形OCP中，根據∠COA的度數，和OC即半徑的長求出PO．

②以Q為頂點，QC，QD為腰，那么可做OC的垂直平分線交圓于Q，則這條線必過圓心，如果設垂直平分線交OC于D的話，可在直角三角形AOQ中根據∠QAE的度數和半徑的長求出Q的坐標；然后用待定系數法求出CQ所在直線的解析式，得出這條直線與x軸的交點，也就求出了PO的值．

試題解析：（1）∵∠AOC=60°，AO=AC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠OAC=60°．

（2）∵CP與⊙A相切，

∴∠ACP=90°，

∴∠APC=90°-∠OAC=30°；

又∵A（4，0），

∴AC=AO=4，

∴PA=2AC=8，

∴PO=PA-OA=8-4=4．

（3）①過點C作CP1⊥OB，垂足為P1，延長CP1交⊙A于Q1；

∵OA是半徑，

∴，

∴OC=OQ1，

∴△OCQ1是等腰三角形；

又∵△AOC是等邊三角形，

∴P1O=OA=2；

②過A作AD⊥OC，垂足為D，延長DA交⊙A于Q2，CQ2與x軸交于P2；

∵A是圓心，

∴DQ2是OC的垂直平分線，

∴CQ2=OQ2，

∴△OCQ2是等腰三角形；

過點Q2作Q2E⊥x軸于E，

在Rt△AQ2E中，

∵∠Q2AE=∠OAD=∠OAC=30°，

∴Q2E=AQ2=2，AE=2，

∴點Q2的坐標（4+2，-2）；

在Rt△COP1中，

∵P1O=2，∠AOC=60°，

∴CP1=2，

∴C點坐標（2，2）；

設直線CQ2的關系式為y=kx+b，則

，

解得，

∴y=-x+2+2；

當y=0時，x=2+2，

∴P2O=2+2．

考點：1.切線的性質；2.等腰三角形的性質；3.等邊三角形的性質．