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【題目】【問題情境】

如圖1,四邊形ABCD是正方形,MBC邊上的一點(diǎn),ECD邊的中點(diǎn),AE平分∠DAM

【探究展示】

1)證明:AM=AD+MC

2AM=DE+BM是否成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.

【拓展延伸】

3)若四邊形ABCD是長(zhǎng)與寬不相等的矩形,其他條件不變,如圖2,探究展示(1)、(2)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)分別作出判斷,不需要證明.

【答案】1)證明見解析;

成立;證明見解析;

3結(jié)論AM=AD+MC仍然成立.

結(jié)論AM=DE+BM不成立.

【解析】分析:(1)從平行線和中點(diǎn)這兩個(gè)條件出發(fā),延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)N,如圖1(1),易證△ADE≌△NCE,從而有AD=CN,只需證明AM=NM即可.

(2)作FA⊥AECB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,易證AM=FM,只需證明FB=DE即可;要證FB=DE,只需證明它們所在的兩個(gè)三角形全等即可.

(3)在圖2(1)中,仿照(1)中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立;在圖2(2)中,采用反證法,并仿照(2)中的證明思路即可證到AM=DE+BM不成立.

本題解析:(1)證明:延長(zhǎng)AEBC交于點(diǎn)N,如圖1(1),

∵四邊形ABCD是正方形,∴ADBC∴∠DAE=ENCAE平分∠DAM∴∠DAE=MAE

∴∠ENC=MAEMA=MN

∴△ADE≌△NCEAAS

AD=NCMA=MN=NC+MC=AD+MC

(2)AM=DE+BM成立.

證明:過點(diǎn)AAFAE,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,如圖1(2)所示.

∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAD=D=ABC=90°,AB=ADABDC

AFAE∴∠FAE=90°.∴∠FAB=90°﹣BAE=DAE

∴△ABF≌△ADEASA).BF=DEF=AEDABDC∴∠AED=BAE

∵∠FAB=EAD=EAM∴∠AED=BAE=BAM+EAM=BAM+FAB=FAM

∴∠F=FAMAM=FMAM=FB+BM=DE+BM

(3)①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立.

證明:延長(zhǎng)AEBC交于點(diǎn)P,如圖2(1),

∵四邊形ABCD是矩形,∴ADBC∴∠DAE=EPCAE平分∠DAM∴∠DAE=MAE

∴∠EPC=MAEMA=MP

∴△ADE≌△PCEAAS).AD=PCMA=MP=PC+MC=AD+MC

②結(jié)論AM=DE+BM不成立.

證明:假設(shè)AM=DE+BM成立.過點(diǎn)AAQAE,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,如圖2(2)所示.

∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=D=ABC=90°,ABDCAQAE

∴∠QAE=90°.∴∠QAB=90°﹣BAE=DAE∴∠Q=90°﹣QAB=90°﹣DAE=AED

ABDC∴∠AED=BAE∵∠QAB=EAD=EAM∴∠AED=BAE=BAM+EAM

=BAM+QAB ∴∠Q=QAMAM=QMAM=QB+BMAM=DE+BMQB=DE

∴△ABQ≌△ADEAASAB=AD.與條件ABAD矛盾,故假設(shè)不成立.

AM=DE+BM不成立.

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