Question

如圖，⊙C經過原點且與兩坐標分別交于點A與點B，點A的坐標為（0，6），點M是圓上弧BO的中點，且∠BMO=120°．
①求弧BO的度數；
②求⊙C的半徑；
③求過點B、M、O的二次函數解析式．

Answer 1

分析：（1）由于∠AOB=90°，那么應連接AB，得到AB是直徑．由∠BMO=120°可得到∠BAO=60°即可得出答案；
（2）易得OA=6，利用60°的三角函數，即可求得AB，進而求得半徑．
（3）利用勾股定理可得OB長，再求出點M的坐標即可求出二次函數解析式．

解答：解：（1）連接AB，AM，則由∠AOB=90°，故AB是直徑，
由∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°-120°=60°，
得∠BAO=60°，∴弧BO的度數為120°；

（2）又AO=6，故cos∠BAO=

AO

AB

，AB=

6

cos60°

=12，
從而⊙C的半徑為6．

（3）由（1）得，BO=

122-62

=6

3

，
過C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
則EC=OF=

1

2

BO=

1

2

×6

3

=3

3

，CF=OE=

1

2

OA=3．
故C點坐標為（-3

3

，3）．點B（-6

3

，0），點M（-3

3

，-3），
設過點B、M、O的二次函數解析式為：y=ax²+bx，把點B（-6

3

，0），點M（-3

3

，-3）代入，
解得：a=

1

9

，b=

2 3

3

，
故二次函數解析式為：y=

1

9

x²+

2 3

3

x．

點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式及垂徑定理與圓周角定理，難度較大，關鍵是掌握本題用到的知識點：90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內接四邊形的對角互補．連接90°所對的弦，做弦心距是常用的輔助線方法．