Question

如圖，⊙C經過原點且與兩坐標軸分別交于A、B兩點，點A的坐標是（0，4），M是圓上一點，∠BMO=120°，求⊙C的半徑和圓心C的坐標．

Answer 1

分析：（1）由于∠AOB=90°，那么應連接AB，得到AB是直徑．由∠BMO=120°可得到∠BAO=60°，易得OA=4，利用60°的三角函數，即可求得AB，進而求得半徑．
（2）利用勾股定理可得OB長，作出OB的弦心距，利用勾股定理可得到C的橫坐標的絕對值，同法可得到點C的橫坐標．

解答：解：（1）連接AB，AM，則由∠AOB=90°，故AB是直徑，
由∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°-120°=60°，
得∠BAO=60°，
又AO=4，故cos∠BAO=

AO

AB

，AB=

4

cos60°

=8，
從而⊙C的半徑為4．

（2）由（1）得，BO=

82-42

=4

3

，
過C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
則EC=OF=

1

2

BO=

1

2

×4

3

=2

3

，CF=OE=

1

2

OA=2．
故C點坐標為（-2

3

，2）．

點評：本題用到的知識點為：90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內接四邊形的對角互補．連接90°所對的弦，做弦心距是常用的輔助線方法．