Question

如圖，⊙C經過原點且與兩坐標軸分別交于點A與點B，點A的坐標為（0，4），M是圓上一點，∠BMO=120°．⊙C的半徑和圓心C的坐標分別是

 

，

 

．

Answer 1

分析：連接AB，OC，由圓周角定理可知AB為⊙O的直徑，再根據∠BMO=120°可求出∠BCO及∠BAO的度數，由直角三角形的性質可求出∠ABO的度數，再根據等腰三角形的性質及等邊三角形的判定定理即可求出⊙C的半徑；由△AOB是直角三角形可求出OB的長，過O作OD⊥OB于D，由垂徑定理可求出OD的長，進而得出D點的坐標，再根據直角三角形的性質可求出CD的長，從而求出C點坐標．

解答：解：連接AB，OC，
∵∠AOB=90°，
∴AB為⊙C的直徑，
∵∠BMO=120°，
∴∠BCO=120°，∠BAO=60°，
∵AC=OC，∠BAO=60°，
∴△AOC是等邊三角形，
∴⊙C的半徑=OA=4；
過C作CD⊥OB于D，則OD=

1

2

OB，
∵∠BAO=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OD=

OA

tan30°

=

2

3 3

=2

3

，CD=

1

2

BC=

1

2

×4=2，
∴D點坐標為（-2

3

，0），
∴C點坐標為（-2

3

，2）．
故答案為：4，C（-2

3

，2）．

點評：本題考查的是圓心角、弧、弦的關系及圓周角定理、直角三角形的性質、坐標與圖形的性質及特殊角的三角函數值，根據題意畫出圖形，作出輔助線，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．