Question

10．已知：如圖，把菱形ABCD沿著AC方向平移得到菱形A₁B₁C₁D₁，BC與A₁B₁相交于點E，DC與A₁D₁相交于點F．求證：四邊形A₁ECF是菱形．

Answer 1

分析 由菱形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)得出∠DCA=∠BCA，AD=CD=AB=CB，AD∥A₁D₁，由平行線的性質(zhì)得出∠DAC=∠DCA，證出∠DCA=∠D₁A₁C，得出FA₁=FC，同理：∠ECA₁=∠EA₁C，EA₁=EC，得出∠FA₁C=∠EA₁C=∠DCA=∠ECA₁，由ASA證明△FA₁C≌△EA₁C，得出對應(yīng)邊相等FA₁=EA₁，F(xiàn)C=EC，因此FA₁=EA₁=FC=EC，即可得出結(jié)論．

解答 證明：∵把菱形ABCD沿著AC方向平移得到菱形A₁B₁C₁D₁，
∴∠DCA=∠BCA，AD=CD=AB=CB，AD∥A₁D₁，
∴∠DAC=∠DCA，∠DAC=∠D₁A₁C，
∴∠DCA=∠D₁A₁C，
∴FA₁=FC，
同理：∠ECA₁=∠EA₁C，
∴EA₁=EC，∠FA₁C=∠EA₁C=∠DCA=∠ECA₁，
在△FA₁C和△EA₁C中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F{A}_{1}C=∠E{A}_{1}C}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\\{∠F{CA}_{1}=∠EC{A}_{1}}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FA₁C≌△EA₁C（ASA），
∴FA₁=EA₁，F(xiàn)C=EC，
∴FA₁=EA₁=FC=EC，
∴四邊形A₁ECF是菱形．

點評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．