Question

當(dāng)x取何值時(shí)，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2007|取得最小值，最小值是多少？

Answer 1

【答案】分析：此題可以用數(shù)形結(jié)合來解題：x為數(shù)軸上的一點(diǎn)，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2007|表示：點(diǎn)x到數(shù)軸上的2007個(gè)點(diǎn)（1、2、3、…、2007）的距離之和，進(jìn)而分析得出最小值為：|1004-1|+|1004-2|+|1004-3|+…|1004-2007|求出即可．
解答：解：在數(shù)軸上，要使點(diǎn)x到兩定點(diǎn)的距離和最小，
則x在兩點(diǎn)之間，最小值為兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長(zhǎng)度（否則距離和大于該線段）；
所以：
當(dāng) 1≤x≤2007時(shí)，|x-1|+|x-2007|有最小值 2006；
當(dāng) 2≤x≤2006時(shí)，|x-2|+|x-2006|有最小值 2004；
…
當(dāng) x=1004時(shí)，|x-1004|有最小值 0．
綜上，當(dāng) x=1004時(shí)，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2007|能夠取到最小值，
最小值為：|1004-1|+|1004-2|+|1004-3|+…|1004-2007|
=1003+1002+1001+…+0+1+2+1003
=1004×1003
=1007012．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合求最值問題，利用已知得出x=1004時(shí)，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2007|能夠取到最小值是解題關(guān)鍵．