Question

如圖，P為等腰Rt△ABC外一點，∠BAC=90°，連PB、PC、PA，PA交BC于E點，且∠APC=45°，下列結論：
①∠BPA=45°．②．③PB+PC=PA．
其中正確的是

1. A.
   ①
2. B.
   ①②
3. C.
   ②
4. D.
   ①②③

Answer 1

D
分析：求出∠ABC=∠APC，即推出A、B、P、C四點共圓，根據圓內接四邊形的對角互補即可求出∠APB的度數；求出△BAE∽△PAB，推出=，證△CAE∽△PAC，推出=，推出=，根據三角形的面積公式即可求出②正確；過A作AD⊥PA，AD交PB的延長線于D，證△ADB≌△APC，推出PC=BD，AD=AP，得出△DAP是等腰直角三角形，由勾股定理求出DP=AP，即可推出③正確．
解答：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠APC=45°，
∴∠ABC=∠APC，
即A、B、P、C四點共圓，
∴∠APB=∠ACB=45°，
∴①正確；
∵∠APB=∠ABC=45°，∠BAE=∠PAB，
∴△BAE∽△PAB，
∴=，
同理可證△CAE∽△PAC，
∴=，
∵AB=AC，
∴=，
即=，
∵△ABE的邊BE上的高和△ACE的邊CE上的高相同，設高為h，
∴===，
∴②正確；
過A作AD⊥PA，AD交PB的延長線于D，
∵∠BAC=90°，AD⊥PA，
∴∠DAP=90°=∠BAC，
∴∠1+∠2=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
∵A、B、P、C四點共圓，
∴∠4=∠ACP，
在△ADB和△APC中
，
∴△ADB≌△APC（ASA），
∴PC=BD，AD=AP，
∴△DAP是等腰直角三角形，
由勾股定理得：DP==AP，
∵DP=BP+BD=BP+PC，
即PB+PC=PA，
∴③正確；
故選D．
點評：本題考查了圓內接四邊形，相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，等腰直角三角形等知識點的綜合運用，題目綜合性比較強，難度偏大．