Question

（本題滿分12分）如圖，拋物線與x軸交于點A（1，0）和B（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若拋物線的對稱軸交x軸于點E，點F是位于x軸上方對稱軸上一點，F(xiàn)C∥x軸，與對稱軸右側的拋物線交于點C，且四邊形OECF是平行四邊形，求點C的坐標；

（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△OCP是等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）C（4，3）；（3）P（）或（）或（）或（）．

【解析】

試題分析：（1）把點A、B的坐標代入函數(shù)解析式，解方程組求出a、b的值，即可得解；

（2）根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸，再根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分求出點C的橫坐標，然后代入函數(shù)解析式計算求出縱坐標，即可得解；

（3）設AC、EF的交點為D，根據(jù)點C的坐標寫出點D的坐標，然后分①O是頂角，②C是頂角，③P是頂角三種情況討論．

試題解析：（1）把點A（1，0）和B（3，0）代入得，

，解得，所以，拋物線的解析式為；

（2）拋物線的對稱軸為直線x=2，

∵四邊形OECF是平行四邊形∴點C的橫坐標是4，

∵點C在拋物線上，∴，

∴點C的坐標為（4，3）；

（3）∵點C的坐標為（4，3），∴OC的長為5，

①點O是頂角頂點時，OP=OC=5，

∵，OE=2∴，

所以，點P的坐標為（2，）或（2，-）；

②點C是頂角頂點時，CP=OC=5，同理求出PF=，所以，PE=，

所以，點P的坐標為（2，）或（2， ）；

③點P是頂角頂點時，點P在OC上，不存在.

綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點P（2，）或（2，-）或（2，）或（2， ），使△OCP是等腰三角形．

考點：二次函數(shù)綜合題．