Question

如圖，雙曲線（x＞0）經過四邊形OABC的頂點A、C，∠ABC=90°，OC平分OA與x軸正半軸的夾角，AB∥x軸，將△ABC沿AC翻折后得到△AB′C，B′點落在OA上，則四邊形OABC的面積是（ ）

A．
B．
C．2
D．

Answer 1

【答案】分析：設BC的延長線交x軸于點D，連接OC，點C（x，y），AB=a，由角平分線的性質得，CD=CB′，則△OCD≌△OCB′，再由翻折的性質得，BC=B′C，根據反比例函數的性質，可得出S_△OCD=xy，則S_△OCB′=xy，由AB∥x軸，得點A（x-a，2y），由題意得2y（x-a）=2，從而得出三角形ABC的面積等于ay，即可得出答案．
解答：解：設BC的延長線交x軸于點D，連接OC，
設點C（x，y），AB=a，
∵∠ABC=90°，AB∥x軸，
∴CD⊥x軸，
由折疊的性質可得：∠AB′C=∠ABC=90°，
∴CB′⊥OA，
∵OC平分OA與x軸正半軸的夾角，
∴CD=CB′，
在Rt△OB′C和Rt△ODC中，
∵，
∴Rt△OCD≌Rt△OCB′（HL），
再由翻折的性質得，BC=B′C，
∵雙曲線y=（x＞0）經過四邊形OABC的頂點A、C，
∴S_△OCD=xy=1，
∴S_△OCB′=S_△OCD=1，
∵AB∥x軸，
∴點A（x-a，2y），
∴2y（x-a）=2，
∴xy-ay=1，
∵xy=2
∴ay=1，
∴S_△ABC=ay=，
∴S_OABC=S_△OCB′+S_△ABC+S_△ABC=1++=2．
故選C．
點評：本題屬于反比例函數的綜合題，考查了折疊的性質、反比例函數的性質以及角平分線的性質．此題難度較大，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．