Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥AC于點D，過點C作⊙O 的切線， 交OD的延長線與點E，連接AE.

（1）求證：AE與⊙O相切；
（2）連接BD并延長交AE于點F，若EC∥AB，OA=6，求AF的長．

Answer 1

（1）連接OC，根據切線的性質可得∠OCE=90°，由OA=OC，OD⊥AC可得∠COE=∠AOE，即可證得△COE≌△AOE，則可得∠OAE =∠OCE = 90°，從而證得結論；（2）4

試題分析：（1）連接OC，根據切線的性質可得∠OCE=90°，由OA=OC，OD⊥AC可得∠COE=∠AOE，即可證得△COE≌△AOE，則可得∠OAE =∠OCE = 90°，從而證得結論；
（2）設BF與OC相交于點G，先證得四邊形OAEC是矩形，再結合OA=OC可得矩形OAEC是正方形，則可得OG∥AE，AE=AO=6，OD=ED，所以有，則可得OG=EF，由OG∥AE可得，即可得到，從而求得結果.
（1）連接OC

∵CE是⊙O的切線
∴∠OCE=90°
∵OA=OC，OD⊥AC
∴∠COE=∠AOE
∵OA=OC，∠COE=∠AOE，OE=OE
∴△COE≌△AOE(SAS)
∴∠OAE=∠OCE=90°
∴OA⊥AE
∴AE與⊙O相切；
（2）設BF與OC相交于點G
∵EC∥AB
∴∠AEC=∠OAE=90°
∵∠AEC=∠OAE=∠OCE=90°
∴四邊形OAEC是矩形
∵OA=OC
∴矩形OAEC是正方形
∴OG∥AE，AE=AO=6，OD=ED
∵OG∥AE
∴
∴OG=EF
∵OG∥AE
∴
∴
∴.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．