Question

19．如圖是拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，3），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B（4，0），直線y₂=mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，下列結(jié)論：
①2a+b=0；
②abc＞0；
③方程ax²+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
④拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（-1，0）；
⑤當(dāng)1＜x＜4時(shí)，有y₂＜y₁．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)軸方程對(duì)①進(jìn)行判斷；由拋物線開(kāi)口方向得到a＜0，由對(duì)稱(chēng)軸位置可得b＞0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置可得c＞0，于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性對(duì)④進(jìn)行判斷；根據(jù)函數(shù)圖象得當(dāng)1＜x＜4時(shí)，一次函數(shù)圖象在拋物線下方，則可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．

解答 解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，3），
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴2a+b=0，所以①正確；
∵拋物線開(kāi)口向下，
∴a＜0，
∴b=-2a＞0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②錯(cuò)誤；
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，3），
∴x=1時(shí)，二次函數(shù)有最大值，
∴方程ax²+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以③正確；
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（4，0）
而拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（-2，0），所以④錯(cuò)誤；
∵拋物線y₁=ax²+bx+c與直線y₂=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B點(diǎn)（4，0）
∴當(dāng)1＜x＜4時(shí)，y₂＜y₁，所以⑤正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次項(xiàng)系數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸右．（簡(jiǎn)稱(chēng)：左同右異）；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．