Question

如圖，已知直線y=交坐標軸于A，B 兩點，以線段AB為邊向上作正方形ABCD，過點A，D，C的拋物線與直線另一個交點為E．
（1）請直接寫出點C，D的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若正方形以每秒個單位長度的速度沿射線AB下滑，直至頂點D落在x軸上時停止．設正方形落在x軸下方部分的面積為S，求S關于滑行時間t的函數關系式，并寫出相應自變量t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵直線y=，
∴當x=0時，y=1，當y=0時，x=2，
∴OA=1，OB=2，
過C作CZ⊥x軸于Z，過D作DM⊥y軸于M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠ABC=∠AOB=∠CZB=90°，
∴∠ABO+∠CBZ=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBZ，
在△AOB和△BZC中
，
∴△AOB≌△BZC（AAS），
∴OA=BZ=1，OB=CZ=2，
∴C（3，2），
同理可求D的坐標是（1，3）；

（2）設拋物線為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過A（0，1），D（1，3），C（3，2），
∴，
解得：a=-，b=，c=1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+1；

（3）∵OA=1，OB=2，
∴由勾股定理得：AB=，
①當點A運動到x軸上點F時，t=1，
當0＜t≤1時，如圖1，
∵∠OFA=∠GFB′，tan∠OFA==，
∴tan∠GFB′===，
∴GB′=t，
∴S_△FB′G=FB′×GB′=•t•t，
∴S=t²；
②當點C運動x軸上時，t=2，
當1＜t≤2時，如圖2，
∵AB=A′B′=，
∴A′F=t-，
∴A′G=，
∵B′H=t，
∴S_{四邊形A′B′HG}=（A′G+B′H）•A′B′=•（+t），
∴S=t-；
③當點D運動到x軸上時，t=3，
當2＜t≤3時，如圖3，
∵A′G=，
∴GD′=-=，
∵S_△AOF=×2×1=1，OA=1，∠AOF=∠FA′G=90°，∠AFO=∠GFA′，
∴△AOF∽△GA′F，
∴=（）²，
∴S_△GA′F=（）²，
∴S_{五邊形GA′B′CH}=（）²-（）²，
∴S=-t²+t-．
分析：（1）求出OA、OB，根據勾股定理求出AB，過C作CZ⊥x軸于Z，過D作DM⊥y軸于M，證△AOB≌△BZC≌△DMA，推出BZ=OA=DM=1，CZ=OB=MA=2，即可求出答案；
（2）設拋物線為y=ax²+bx+c，把A、D、C的坐標代入求出即可；
（3）分為三種情況，根據題意畫出圖形，①當點A運動到x軸上點F時，②當點C運動x軸上時，③當點D運動到x軸上時，根據相似三角形的性質和判定和三角形的面積公式求出即可．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，一次函數圖象上點的特征，用待定系數法求出二次函數的解析式，正方形的性質，勾股定理，三角形的面積等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，難度偏大．