Question

如圖，已知直線AB交兩坐標于A、B兩點，且OA=OB=1，點P（a、b）是雙曲線y=

1

2x

上在第一象內的點過點P作PM⊥x軸于M、PN⊥y軸于N．兩垂線與直線AB交于E、F．
（1）分別寫出點E、F的坐標（分別用a或b表示）；
（2）求△OEF的面積（結果用a、b表示）；
（3）△AOF與△BOE是否相似？請說明理由；
（4）當P在雙曲線y=

1

2x

上移動時，△OEF隨之變動，觀察變化過程，△OEF三內角中有無大小始終保持不變的內角？若有，請指出它的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設直線EF的解析式為y=kx+b，把A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，運用待定系數法求出直線EF的解析式，由點P（a，b）是反比例函數y=

1

2x

圖象上的點，得出b=

1

2a

，又點E的橫坐標為a，點F的縱坐標為b即

1

2a

，分別把x=a，y=

1

2a

代入直線EF的解析式，即可求出對應的值，從而得出結果；
（2）根據點E、F的坐標，分別表示出NF、ME、EP、FP的長度，然后利用S_△OEF=S_矩形OMPN-S_△ONF-S_△OME-S_△EPF，列式并進行整理即可得到△OEF的面積；
（3）在△BOE與△AOF中，由于∠OBA=∠OAB=45°，根據相似三角形的判定，可分別計算BE：OB與OA：AF的值，如果它們相等，那么△AOF∽△BEO，否則，就不相似；
（4）根據相似三角形的對應角相等及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個外角的和得出∠FOE=∠EAO=45°．

解答：解：（1）設直線EF的解析式為y=kx+b，
由題知A（1，0），B（0，1），
把A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，
得k+b=0，b=1，
解得k=-1，b=1．
∴y=-x+1．
∵點P（a，b）是反比例函數y=

1

2x

圖象上的點，
∴b=

1

2a

．
∴E（a，1-a），F（1-

1

2a

，

1

2a

）；

（2）∵點E、F的坐標分別為E（a，1-a），F（1-b，b），
∴NF=1-b，ME=1-a，EP=b-（1-a）=a+b-1，FP=a-（1-b）=a+b-1，
∵S_△OEF=S_矩形OMPN-S_△ONF-S_△OME-S_△EPF，
∴S_△OEF=ab-

1

2

×b（1-b）-

1

2

×a（1-a）-

1

2

×（a+b-1）×（a+b-1），
=

1

2

（a+b-1）；
即S_△OEF=

1

2

（a+b-1）；

（3）△AOF與△BOE一定相似．
理由如下：
∵OA=OB=1，
∴AB=

2

，∠OBA=∠OAB=45°，
∴AE=

2

AM=

2

（1-a），BF=

2

BN=

2

（1-

1

2a

），
∴BE=BA-AE=

2

a，AF=BA-BF=

2

2a

，
∴BE•AF=

2

2a

×

2

a=1，
又∵OA•OB=1×1=1，
∴BE•AF=OA•OB，
∴

BE

OB

=

OA

AF

，
又∵∠OBA=∠OAB=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（4）∠FOE=45°，角度始終不變．
理由如下：
∵△AOF∽△BEO，
∴∠FOA=∠OEB，
∴∠FOE+∠EOA=∠EOA+∠EAO，
得∠FOE=∠EAO=45°．

點評：本題主要考查了運用待定系數法求函數的解析式，相似三角形的判定及性質，一次函數與反比例函數的關系，通過解方程求交點坐標等知識．綜合性強，有一定難度．