Question

23、如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD丄PA，垂足為D．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長度．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據題意可證得∠CAD+∠DCA=90°，再根據角平分線的性質，得∠DCO=90°，則CD為⊙O的切線；
（2）過O作OF⊥AB，則OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四邊形OCDF為矩形，設AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x）²+（6-x）²=25，從而求得x的值，由勾股定理得出AB的長．

解答：解：（1）證明：連接OC．
∵點C在⊙O上，OA=OC，∴∠OCA=∠OAC．
∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，則∠CAD+∠DCA=90°．
∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO．
∴∠DCO=∠DCA+∠ACD=∠DCA+CAO=∠DCA+∠DAC=90°．
又∵點C在⊙O上，OC為⊙O的半徑，∴CD為⊙O的切線．

（2）過O作OF⊥AB，垂足為F，∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，設AD=x，則OF=CD=6-x，
∵⊙O的直徑為10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF²+OF²=OA²．
即（5-x）²+（6-x）²=25，
化簡得x²-11x+18=0，
解得x=2或x=9．
由AD＜DF，知0＜x＜5，故x=2，
從而AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F為AB的中點，∴AB=2AF=6．

點評：本題考查了切線的判定和性質、勾股定理、矩形的判定和性質以及垂徑定理，是基礎知識要熟練掌握．