Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若DC=4，AC=5，求⊙O的直徑的AE．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據OA=OC推出∠OCA=∠OAC，根據角平分線得出∠OCA=∠OAC=∠CAP，推出OC∥AP，得出OC⊥CD，根據切線的判定推出即可；
（2）過O作OM⊥AB于M，得出矩形OMDC，推出OM=CD，OC=AM+AD，求出AM的長，利用勾股定理求出AD的長，設圓的半徑為x，則AM=x-AD，再根據勾股定理列方程，求出x的值即可求出⊙O的半徑，從而求出⊙O的直徑的AE．

解答：（1）證明：連接OC．
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC．
∵CD⊥PA，
∴∠ADC=∠OCD=90°，
即 CD⊥OC，點C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線．   
              
（2）解：過O作OM⊥AB于M．即∠OMA=90°，
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，
∴四邊形DMOC是矩形，
∴OC=DM，OM=CD=4．
∵DC=4，AC=5，
∴AD=3，
設圓的半徑為x，則AM=x-AD=x-3，
∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根據勾股定理得：AO²=AM²+OM²．
∴x²=（x-3）²+4²，
∴x=

25

6

∴⊙O的半徑是

25

6

，
∴⊙O的直徑的AE=2×

25

6

=

25

3

．

點評：本題考查了矩形的性質和判定，勾股定理、垂徑定理、切線的判定、平行線的性質和判定等知識點，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力，用了方程思想．