Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑．點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D.

【小題1】求證：CD為⊙O的切線；
【小題2】若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長.

Answer 1

【小題1】證明：連接OC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC.
∵CD⊥PA，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAD+∠DCA=90°，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO.………………1分
∴∠DCO="∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°."
∴CD為⊙O的切線． …………………………2分
【小題2】解：過O作OF⊥AB，垂足為F，

∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四邊形OCDF為矩形，
∴OC=FD，OF=CD.
∵DC+DA=6，設AD=x，則OF=CD=6-x， ……………………3分
∵⊙O的直徑為10，
∴DF=OC=5，∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得.
即，化簡得：
解得或（舍）. ………………………4分
∴AD="2," AF=5-2=3.
∵OF⊥AB，
AB="2AF=6." ………………………..5分

解析