Question

已知如圖，∠COD=90°，直線AB與OC交于點B，與OD交于點A，射線OE和射線AF交于點G．
（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=30°，則∠OGA=______
（2）若∠GOA=∠BOA，∠GAD=∠BAD，∠OBA=30°，則∠OGA=______
（3）將（2）中“∠OBA=30°”改為“∠OBA=α”，其余條件不變，則∠OGA=______（用含α的代數式表示）
（4）若OE將∠BOA分成1：2兩部分，AF平分∠BAD，∠ABO=α（30°＜α＜90°），求∠OGA的度數（用含α的代數式表示）

Answer 1

解：（1）（1）15°；

（2）10°；

（3）；

（4）當∠EOD：∠COE=1：2時，
則∠EOD=30°，
∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，
而AF平分∠BAD，
∴∠FAD=∠BAD，
∵∠FAD=∠EOD+∠OGA，
∴2×30°+2∠OGA=α+90°，
∴∠OGA=α+15°；
當∠EOD：∠COE=2：1時，則∠EOD=60°，
同理得到∠OGA=α-15°，
即∠OGA的度數為α+15°或α-15°．
故答案為15°，10°，α．
分析：（1）由于∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，由AF平分∠BAD得到∠FAD=∠BAD，而∠FAD=∠EOD+∠OGA，2×45°+2∠OGA=α+90°，則∠OGA=α，然后把α=30°代入計算即可；
（2）由于∠GOA=∠BOA=30°，∠GAD=∠BAD，∠OBA=α，根據∠FAD=∠EOD+∠OGA得到3×30°+3∠OGA=α+90°，則∠OGA=α，然后把α=30°代入計算；
（3）由（2）得到∠OGA=α；
（4）討論：當∠EOD：∠COE=1：2時，利用∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，∠FAD=∠EOD+∠OGA得到2×30°+2∠OGA=α+90°，則∠OGA=α+15°；
當∠EOD：∠COE=2：1時，則∠EOD=60°，同理得∠OGA=α-15°．
點評：本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和為180°．也考查了三角形外角性質．