Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，以點A為圓心，1為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點，將DE繞點D按逆時針旋轉90°，得到DF，連接AF，

（1）當∠EAD=90°時，AF=________________．

（2）在E的整個運動過程中，AF的最大值是________________．

Answer 1

【答案】或5 ；

【解析】

（1）當∠EAD=90°時，分兩種情況：①如圖：當點E在BA的延長線上和當點E在點A下方，即A于AB的交點就是點E時.根據旋轉后大小不變和正方形邊長相等，可以證明三角形全等，進而得出對應邊相等，再根據勾股定理可得斜邊AF的長；

（2）先構造出全等三角形，判斷出點F在AC的延長線上時，AF最大值，進而確定出點E的位置，再判斷出AF最大時，點C在AF上，根據正方形的性質求出AC，從而得出AF的最大值．

解：（1）∠EAD=90°時，

①如圖：當點E在BA的延長線上時，

∵DE=DF DA=DC，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF

∴AE=CF=1 BF=BC-CF=2

∴在Rt△ABF中，AF= ==；

②如圖：當點E在點A下方，即A于AB的交點就是點E時：

方法同①可得Rt△ADE≌Rt△CDF，AE=CF=1

∴BF=BC+CF=4

∴在Rt△ABF中，AF= ==5.

故答案為：或5 ；

（2）解：如圖1，

連接AE，CF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
由旋轉知，DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴CF=AE=1，
∴點F的軌跡是以點C為圓心，半徑為1圓，
∴點F在AC的延長線上時，AF最大；
如圖，過點A作∠EAB=45°交⊙A于點E，此時旋轉后AF最大，過點E作EG⊥AD交DA延長線于G，

在Rt△AEG中，AE=1，∠GAE=∠EAB=45°，
∴EG=AG=，
∵∠ADC=∠EDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF，
∴CF=AE=1，∠DCF=∠DAE=∠BAD+∠EAB=90°+45°=135°，
∴點C在線段AF上，
∴AF=AC+CF，
∵AC是邊長為3的正方形的對角線，
∴AC=3，
∴AF=3+1，
即：AF的最大值是3+1，

故答案為：3+1.