Question

18．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=6米，AB=10米，M點在線段CA上，從A向C運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從B向A運動，速度為2米/秒．運動時間為x秒，四邊形BCMN的面積為y．
（1）當∠ANM=∠AMN時，求x的值；
（2）求四邊形BCMN的面積y與運動時間為x秒之間的函數關系式．（寫出自變量的取值范圍）

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，根據勾股定理得到AC=8米，可得AM=x米，AN=（10-x）米，利用條件可得到AM=AN，從而得到關于x的方程求得x值即可；
（2）作NH⊥AC于H，證得△ANH∽△ABC，從而得到比例式，然后用x表示出NH，再根據四邊形BCMN的面積=△ABC的面積-△AMN的面積，可得四邊形BCMN的面積y與運動時間為x秒之間的函數關系式．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，
∵AB²=BC²+AC²，
∴AC=8米，
∴AM=x米，AN=（10-2x）米，
若∠ANM=∠AMN，則AM=AN，
即x=10-2x，
解得t=$\frac{10}{3}$，
即當t為$\frac{10}{3}$秒時，∠ANM=∠AMN；
（2）如圖，作NH⊥AC于H，
∴∠NHA=∠C=90°，
∵∠A是公共角，
∴△NHA∽△BCA，
∴$\frac{AN}{AB}$=$\frac{NH}{BC}$，
即：$\frac{2x}{10}$=$\frac{NH}{6}$，
∴NH=1.2x，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$x×1.2x=0.6x²，
四邊形BCMN的面積y與運動時間為x秒之間的函數關系式為y=$\frac{1}{2}$×6×8-0.6x²=24-0.6x²．

點評 本題主要考查二次函數的應用，相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵，注意利用時間x表示出線段的長，化動為靜是這類問題的一般思路．