Question

在ABCD中，P是AB邊上的任意一點，過P點作PE⊥AB，交AD于E，連結CE，CP．已知∠A=60°；

（1）若BC=8，AB=6，當AP的長為多少時，△CPE的面積最大，并求出面積的最大值．
（2）試探究當△CPE≌△CPB時，ABCD的兩邊AB與BC應滿足什么關系？

Answer 1

（1）AP的長為5時，△CPE的面積最大，最大面積是。
（2）當△CPE≌△CPB時，BC與AB滿足的關系為BC=AB。

分析：（1）延長PE交CD的延長線于F，設AP=x，△CPE的面積為y，由四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等得到AB=DC，AD=BC，在直角三角形APE中，根據∠A的度數求出∠PEA的度數為30度，利用直角三角形中30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出AE與PE，由AD﹣AE表示出DE，再利用對頂角相等得到∠DEF為30度，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出DF，由兩直線平行內錯角相等得到∠F為直角，表示出三角形CPE的面積，得出y與x的函數解析式，利用二次函數的性質即可得到三角形CPE面積的最大值，以及此時AP的長。
（2）由△CPE≌△CPB，利用全等三角形的對應邊相等，對應角相等得到BC=CE，∠B=∠PEC=120°，進而得出∠ECD=∠CED，利用等角對等邊得到ED=CD，即三角形ECD為等腰三角形，過D作DM垂直于CE，∠ECD=30°，利用銳角三角形函數定義表示出cos30°，得出CM與CD的關系，進而得出CE與CD的關系，即可確定出AB與BC滿足的關系。
解：（1）延長PE交CD的延長線于F，

設AP=x，△CPE的面積為y，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=DC=6，AD=BC=8，。
∵Rt△APE中，∠A=60°，
∴∠PEA=30°。
∴AE=2x，PE=。
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD﹣AE=8﹣2x，∴DF=DE=4﹣x。
∵AB∥CD，PF⊥AB，∴PF⊥CD。
∴S_△CPE=PE•CF。
∴。
∵，∴當x=5時，y有最大值。
∴AP的長為5時，△CPE的面積最大，最大面積是。
（2）當△CPE≌△CPB時，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，
∴∠CED=180°﹣∠AEP﹣∠PEC=30°。
∵∠ADC=120°，∴∠ECD=∠CED=180°﹣120°﹣30°=30°。
∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形。
過D作DM⊥CE于M，則CM=CE。
在Rt△CMD中，∠ECD=30°，∴。
∴CM= CD。∴CE=CD。
∵BC=CE，AB=CD，∴BC=AB。
∴當△CPE≌△CPB時，BC與AB滿足的關系為BC=AB。