Question

6．在△ABC中，

（1）如圖1，BP為△ABC的角平分線，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=50，BC=60請補全圖形，并直接寫出△ABP與△BPC面積的比值；
（2）如圖2，分別以△ABC的邊AB、AC為邊向外作等邊三角形ABD和ACE，CD與BE 相交于點O，求證：BE=CD；
（3）在（2）的條件下判斷∠AOD與∠AOE的數量關系．（不需證明）

Answer 1

分析 （1）根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PM=PN，再根據三角形的面積公式列式求解即可；
（2）根據等邊三角形的性質可得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，再求出∠DAC=∠BAE，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADC全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（3）過點A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，根據△DAC≌△BAE，可知它們的面積相等，即可推出AM=AN，逆用角平分線的性質定理，可得AO平分∠DOE．

解答 解：（1）如圖1，作PN⊥BC于N，
又∵BP為△ABC的角平分線，PM⊥AB于M，
∴PM=PN，
∴S_△ABP：S_△BPC=（$\frac{1}{2}$AB•PM）：（$\frac{1}{2}$BC•PN）=AB：BC，
∵AB=50，BC=60，
∴△ABP與△BPC面積的比值為$\frac{5}{6}$；

（2）證明：如圖2，∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=CD；

（3）∠AOD與∠AOE的數量關系為：∠AOD=∠AOE．
理由：如圖，過點A作AM⊥DC于M，作AN⊥BE于N，
由（2）可得，△DAC≌△BAE，且DC=BE，
∴S_△DAC=S_△BAE，
即$\frac{1}{2}$×CD×AM=$\frac{1}{2}$×BE×AN，
∴AM=AN，
∴點A在∠DOE的角平分線上，
∴∠AOD=∠AOE．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質、角平分線的性質、等邊三角形的性質的綜合應用．解題時注意：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，運用其逆定理是解決問題的關鍵．