Question

13．如圖，點A是雙曲線y=$\frac{6}{x}$在第一象限分支上的一個動點，連結AO并延長交另一分支于點B，以AB為底作等腰△ABC，使∠C=120°，且點C在第四象限內，且隨著點A的運動，點C的位置也不斷變化．但點C始終也在不斷變化，但點C始終在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上運動，則k的值是（　�。�

• A． -1
• B． -2
• C． -2$\sqrt{3}$
• D． -3

Answer 1

分析 作AD⊥y軸、作CE⊥y軸可得∠ADO=∠OEC=90°、∠AOD+∠OAD=90°，由點A與點B關于原點對稱知OA=OB，結合△ABC為等腰三角形可知OC⊥OA、∠CAO=30°，即∠AOD+∠COE=90°，從而得∠OAD=∠COE，設點A（x，$\frac{6}{x}$），證△OAD∽△COE得$\frac{OE}{AD}$=$\frac{CE}{OD}$=$\frac{OC}{AO}$=tan∠CAO，即$\frac{OE}{x}$=$\frac{CE}{\frac{6}{x}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x、CE=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$，即可得答案．

解答 解：如圖，連接OC，作AD⊥y軸于點D，作CE⊥y軸于點E，

∴∠ADO=∠OEC=90°，
∴∠AOD+∠OAD=90°，
∵A點、B點是正比例函數圖象與雙曲線y=$\frac{6}{x}$的交點，
∴點A與點B關于原點對稱，
∴OA=OB
∵△ABC為等腰三角形，
∴OC⊥OA，∠CAO=30°，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∴∠OAD=∠COE，
∴△OAD∽△COE，
設點A（x，$\frac{6}{x}$），即AD=x，OD=$\frac{6}{x}$，
由$\frac{OE}{AD}$=$\frac{CE}{OD}$=$\frac{OC}{AO}$=tan∠CAO，即$\frac{OE}{x}$=$\frac{CE}{\frac{6}{x}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可得OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，CE=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$，
則點C坐標為（$\frac{2\sqrt{3}}{x}$，-$\frac{\sqrt{3}x}{3}$），
∴k=-$\frac{2\sqrt{3}}{x}$×$\frac{\sqrt{3}x}{3}$=-2，
故選：B．

點評 本題考查了反比例函數的綜合題，掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質，熟練運用三角形相似的判定與性質解決線段相等的問題是解題的關鍵．