Question

（本題滿分10分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連結EF、EO，若DE=，∠DPA=45°．

（1）求⊙O的半徑；

（2）求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

（1）2；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據垂徑定理得CE的長，再根據已知DE平分AO得CO=AO=OE，解直角三角形求解．

（2）先求出扇形的圓心角，再根據扇形面積和三角形的面積公式計算即可．

試題解析：（1）∵直徑AB⊥DE，∴CE=DE=．∵DE平分AO，∴CO=AO=OE．又∵∠OCE=90°，∴sin∠CEO==，∴∠CEO=30°．在Rt△COE中，OE===2，∴⊙O的半徑為2；

（2）連接OF．在Rt△DCP中，∵∠DPC=45°，∴∠D=90°﹣45°=45°，∴∠EOF=2∠D=90°，

∴==π．

∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，∴=×OE×OF=2，∴==．

考點：1．扇形面積的計算；2．線段垂直平分線的性質；3．解直角三角形．