Question

（本題滿分13分）如圖1，反比例函數（）的圖象經過點A（，1），射線AB與反比例函數圖象交與另一點B（1，），射線AC與軸交于點C，∠BAC=75°，AD⊥y軸，垂足為D．

（1）求的值；

（2）求∠DAC的度數及直線AC的解析式；

（3）如圖2，M是線段AC上方反比例函數圖象上一動點，過M作直線軸，與AC相交于N，連接CM，求△CMN面積的最大值．

Answer 1

（1）；（2）30°，；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征易得k=；

（2）作BH⊥AD于H，如圖1，根據反比例函數圖象上點的坐標特征確定B點坐標為（1，），則AH=，BH=，可判斷△ABH為等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根據特殊角的三角函數值得tan∠DAC=；由于AD⊥y軸，則OD=1，AD=，然后在Rt△OAD中利用正切的定義可計算出CD=2，易得C點坐標為（0，﹣1），于是可根據待定系數法求出直線AC的解析式為；

（3）利用M點在反比例函數圖象上，可設M點坐標為（t，）（0＜t＜1），由于直線l⊥x軸，與AC相交于點N，得到N點的橫坐標為t，利用一次函數圖象上點的坐標特征得到N點坐標為（t，），則MN=，根據三角形面積公式得到=，再進行配方得到S=（0＜t＜1），最后根據二次函數的最值問題求解．

試題解析：（1）把A（，1）代入，得=；

（2）作BH⊥AD于H，如圖1，把B（1，a）代入反比例函數解析式，得a=，∴B點坐標為（1，），∴AH=，BH=，∴△ABH為等腰直角三角形，∴∠BAH=45°，∵∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，∴tan∠DAC=tan30°=，∵AD⊥y軸，∴OD=1，AD=，∵tan∠DAC==，∴CD=2，∴OC=1，∴C點坐標為（0，﹣1），設直線AC的解析式為，把A（，1）、C（0，﹣1）代入，得：，解得：，∴直線AC的解析式為；

（3）設M點坐標為（t，）（0＜t＜1），∵直線l⊥x軸，與AC相交于點N，∴N點的橫坐標為t，∴N點坐標為（，），∴MN==，

∴===（0＜t＜1），

∵，∴當時，S有最大值，最大值為．

考點：1．反比例函數綜合題；2．一次函數的性質；3．二次函數的最值．