Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2在第一象限內經過的整數點（橫坐標，縱坐標都為整數的點）依次為A1，A2，A3，…An，…，將拋物線y＝x2沿直線L：y＝x向上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件：

①拋物線的頂點M1，M2，M3，…Mn，…都在直線L：y＝x上；

②拋物線依次經過點A1，A2，A3…An，…．

則M2016頂點的坐標為________．

Answer 1

【答案】（4031，4031）

【解析】

根據拋物線的解析式，結合整數點的定義，找出點的坐標為，設點的坐標為（a,a）,則以點為頂點的拋物線的解析式為，由點的坐標可求出a值，可發現規律，根據規律可求出答案.

解：M1（a1，a1）是拋物線y1＝（x﹣a1）2+a1的頂點，

拋物線y＝x2與拋物線y1＝（x﹣a1）2+a1相交于A1，

得x2＝（x﹣a1）2+a1，

即2a1x＝a12+a1，

x＝（a1+1）．

∵x為整數點，

∴a1＝1，

M1（1，1）；

M2（a2，a2）是拋物線y2＝（x﹣a2）2+a2＝x2﹣2a2x+a22+a2頂點，

拋物線y＝x2與y2相交于A2，

x2＝x2﹣2a2x+a22+a2，

∴2a2x＝a22+a2，

x＝（a2+1）．

∵x為整數點，

∴a2＝3，

M2（3，3），

M3（a3，a3）是拋物線y2＝（x﹣a3）2+a3＝x2﹣2a3x+a32+a3頂點，

拋物線y＝x2與y3相交于A3，

x2＝x2﹣2a3x+a32+a3，

∴2a3x＝a32+a3，

x＝（a3+1）．

∵x為整數點，

∴a3＝5，M3（5，5），

∴點M2016的坐標為：2016×2﹣1＝4031，

∴M2016（4031，4031），

故答案是：（4031，4031）．