Question

已知質數p、q使得表達式

2p+1

q

及

2q-3

p

都是自然數，試確定p²q的值．

Answer 1

先設p≥q，則有1≤

2q-3

p

=2×

q

p

-

3

p

＜2，于是只能

2q-3

p

=1，即p=2q-3，
而這時

2p+1

q

=

4q-5

q

=4-

5

q

，要使

2p+1

q

為自然數，只能q=5，從而p=7，
再設p＜q，這時1≤

2p+1

q

=2×

p

q

+

1

q

＜3，于是有下面兩種情況：
①

2p+1

q

=1，q=2p+1，此時

2q-3

p

=

4p-1

p

，
解得p=1，不合題意；
②

2p+1

q

=2，2p+1=2q，左邊為奇數，右邊為偶數，矛盾．
故p²q=7²×5=245．
故答案為：245．