Question

已知質數p、q使得表達式

2p+1

q

及

2q-3

p

都是自然數，試確定p²q的值．

Answer 1

分析：先設p≥q，再由

2q-3

p

為自然數可判斷出能

2q-3

p

=1，即p=2q-3，同理由

2p+1

q

是自然數可求出q=5，p=7；再設p＜q，可求出

2p+1

q

的取值范圍，再分

2p+1

q

=1和

2p+1

q

=2兩種情況進行討論，找出符合條件的未知數的值代入代數式計算即可．

解答：解：先設p≥q，則有1≤

2q-3

p

=2×

q

p

-

3

p

＜2，于是只能

2q-3

p

=1，即p=2q-3，
而這時

2p+1

q

=

4q-5

q

=4-

5

q

，要使

2p+1

q

為自然數，只能q=5，從而p=7，
再設p＜q，這時1≤

2p+1

q

=2×

p

q

+

1

q

＜3，于是有下面兩種情況：
①

2p+1

q

=1，q=2p+1，此時

2q-3

p

=

4p-1

p

，
解得p=1，不合題意；
②

2p+1

q

=2，2p+1=2q，左邊為奇數，右邊為偶數，矛盾．
故p²q=7²×5=245．
故答案為：245．

點評：本題考查的是數的整除性問題、自然數、奇數與偶數、質數的定義，涉及面較廣，難度較大．