Question

已知拋物線y=a（x+1）²+c（a＞0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，其頂點為M，已知直線MC的函數表達式為y=kx-3，與x軸的交點為N，且cos∠BCO=

3 10

10

．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在此拋物線上是否存在異于點C的點P，使以N、P、C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，過點A作x軸的垂線，交直線MC于點Q，若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？

Answer 1

分析：（1）由直線解析式可知OC=3，在Rt△OBC中，根據cos∠BCO=

3 10

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，解直角三角形可得OB=1，將B、C兩點坐標代入拋物線解析式，可確定拋物線解析式；
（2）存在．由拋物線解析式得M（-1，-4）得出直線MN解析式，根據△OCN的特殊性，分別過N、C兩點作CN的垂線，求出P點坐標；
（3）設平移后拋物線解析式為y=（x+1）²+m，當拋物線與直線MN只有一個交點時，聯立拋物線與直線解析式，方程組有一個解，當拋物線經過N、Q時，分別求m的值，確定平移的長度．

解答：解：（1）由y=kx-3，可知OC=3，
在Rt△OBC中，∵cos∠BCO

OC

BC

=

3 10

10

，
∴BC=

10

，OB=

BC2-OC2

=1，
將B（（1，0））、C（0，-3）代入拋物線解析式，
得

a(1+1)2+c=0 a(0+1)2+c=-3

，
解得

a=1 c=-4

，
∴拋物線解析式為y=（x+1）²-4；

（2）存在．由拋物線解析式得M（-1，-4），
設直線MN解析式為y=kx+b，則

-k+b=-4 b=-3

，
解得

k=1 b=-3

，
∴y=x-3，N（3，0），
△OCN為等腰直角三角形．
過N點作CN的垂線交y軸于（0，3），垂線解析式為y=-x+3．
聯立

y=-x+3 y=(x+1)2-4

，
得P點坐標為（

-3- 33

2

，

9+ 33

2

）或（

-3+ 33

2

，

9- 33

2

），
連接AC，則A（-3，0）點滿足題意，
∴P點坐標為（

-3- 33

2

，

9+ 33

2

）或（

-3+ 33

2

，

9- 33

2

）或（-3，0）；

（3）設平移后拋物線解析式為y=（x+1）²+m，
①當拋物線與直線MN只有一個交點時，聯立

y=x-3 y=(x+1)2+m

，得x²+x+m+4=0，
當方程組有一個解時，△=0，即1-4（m+4）=0，解得m=-

15

4

，
∴向上平移4-

15

4

=

1

4

個單位，
②當拋物線經過N（3，0）時，（3+1）²+m=0，解得m=-16，
當拋物線經過Q（-3，-6）時，（-3+1）²+m=-6，解得m=-10，
∴向下平移16-4=12個單位．
即拋物線向上最多可平移

1

4

個單位長度，向下最多可平移12個單位長度．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據題意求出拋物線的解析式，得出相關點的坐標，根據圖形的特殊性求解．