Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于不同的兩點A（x₁，0）和B（x₂，0），與y軸的正半軸交于點C．如果x₁、x₂是方程x²-x-6=0的兩個根（x₁＜x₂），且△ABC的面積為

15

2

．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求直線AC和BC的方程；
（3）如果P是線段AC上的一個動點（不與點A、C重合），過點P作直線y=m（m為常數），與直線BC交于點Q，則在x軸上是否存在點R，使得△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知A，B的坐標，易求出三角形ABC的面積以及點C的坐標．易求解析式．
（2）已知A，B，C三點的坐標，易求AC，BC的方程式．
（3）假設存在點R，直線y=m與y軸的交點為點E．證明點P不與點O，C重合，證明△CPQ∽△CAB后解得P，Q的坐標．

解答：解：（1）A（-2，O），B（3，0），
S_△ABC=

15

2

，
∴c=3，C（0，3）．
∴拋物線的解析式是y=-

1

2

x²+

1

2

x+3．

（2）由（1）可知，直線AC的方程為y=

3x

2

+3，直線BC的方程為y=-x+3．

（3）假設存在滿足條件的點R，并設直線y=m與y軸的交點為E（0，m），
由（1），知AB=5，OC=3．
點P不與點A、C重合，
∴點E（0，m）不與點O、C重合．
∴0＜m＜3．
由于PQ為等腰直角三角形加PQR的一腰，
過點P作PR₁⊥x軸于點R₁，則∠R1PQ=90°，PQ=PR₁=m．
即（3-m）-

2m-6

3

=m，
解得m=

15

8

．
∴P（x_P，

15

8

），Q（x_Q，

15

8

），
點P在直線AC上，
解得x_P=-

3

4

，P（-

3

4

，

15

8

）．
∴點R₁（-

3

4

，0）．
過點Q作QR₂⊥x軸于R₂，
同理可求得x_Q=

9

8

，Q（

9

8

，

15

8

）．
∴點R₂（

9

8

，0）．驗證成立，
當∠PRQ=90°時，PQ=2m，即（3-m）-

2m-6

3

=2m，
解得m=

15

11

，此時R的橫坐標為

1

2

[（3-m）+

2m-6

3

]=

3

11

，
∴R₁（-

3

4

，0）、R₂（

9

8

，0）、R₃（

3

11

，0）是滿足條件的點．

點評：本題考查的是二次函數的綜合運用，要利用大量的輔助線的幫助，難度較大．