Question

如圖，已知直線l的函數表達式為y=-

4

3

x+8，且l與x軸，y軸分別交于A，B兩點，動點Q從B點開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，同時動點P從A點開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，設點Q，P移動的時間為t秒
（1）點A的坐標為

 

，點B的坐標為

 

；
（2）當t=

 

時，△APQ與△AOB相似；
（3）（2）中當△APQ與△AOB相似時，線段PQ所在直線的函數表達式為

 

．

Answer 1

分析：（1）根據一次函數圖象上點的坐標特征，即與x軸的交點y=0，與y軸的交點x=0，求出A．B兩點的坐標；
（2）當移動的時間為t時，根據△APQ∽△AOB，利用三角形的相似比求出t的值；
（3）當t=

30

11

秒時，PQ∥OB，PQ⊥OA，PA=

30

11

，即可求出P（

36

11

，0），進而求出線段PQ所在直線的函數表達式；
當t=

50

13

時PA=

50

13

，BQ=

100

13

，OP=

28

13

，有P（

28

13

，0），設Q點的坐標為（x，y），同上可求出Q的坐標，設PQ的表達式為y=kx+b，把P，Q兩點的坐標分別為代入即可求出PQ的表達式．

解答：解：（1）由y=-

4

3

x+8，
令x=0，得y=8；
令y=0，得x=6．
A，B的坐標分別是（6，0），（0，8）；

（2）由BO=8，AO=6，根據勾股定理得AB=

BO2+AO2

=10．
當移動的時間為t時，AP=t，AQ=10-2t．
∵∠QAP=∠BAO，當

PA

OA

=

QA

BA

時，
△APQ∽△AOB，

t

6

=

10-2t

10

，
∴t=

30

11

（秒）．
∵∠QAP=∠BAO，
∴當

PA

AB

=

AQ

AO

時，
△APQ∽△AOB，
∴

t

10

=

10-2t

6

，
∴t=

50

13

（秒），
∴t=

30

11

秒或

50

13

秒，經檢驗，它們都符合題意，此時△AQP與△AOB相似；

（3）當t=

30

11

秒時，PQ∥OB，PQ⊥OA，PA=

30

11

，
∴OP=

36

11

，
∴P（

36

11

，0），
∴線段PQ所在直線的函數表達式為x=

36

11

，
當t=

50

13

時PA=

50

13

，BQ=

100

13

，OP=

28

13

，
∴P（

28

13

，0），
設Q點的坐標為（x，y），則有

X

OA

=

BQ

BA

，
∴

x

6

=

100 13

10

，
∴x=

60

13

，
當x=

60

13

時，y=-

4

3

×

60

13

+8=

24

13

，
∴Q的坐標為(

60

13

，

24

13

)，
設PQ的表達式為y=kx+b，
則

28 13 k+b=0 60 13 k+b= 24 13

，
∴

k= 3 4 b=- 21 13

，
∴PQ的表達式為y=

3

4

x-

21

13

．

點評：此題考查的是一次函數的解析式與三角形相結合，根據三角形相似求一次函數的解析式，有一定的難度．是中學階段的難點．