Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx -1經過A（-1,0）、B（2,0）兩點，交y軸于點C．點P為拋物線上的一個動點，過點P作x軸的垂線交直線BC于點D，交x軸于點E．

（1）請直接寫出拋物線表達式和直線BC的表達式.

（2）如圖1，當點P的橫坐標為   時，求證：△OBD∽△ABC.

（3）如圖2，若點P在第四象限內，當OE=2PE時，求△POD的面積.

（4）當以點Ｏ、Ｃ、Ｄ為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出動點P的坐標.

 

Answer 1

解：（1）拋物線表達式：

直線BC的表達式：

（2）如圖1，當點P的橫坐標為 時，把x=

代入，得

∴DE=

又∵OE=，

∴DE=OE

∵∠OED =90°

∴∠EOD=45°

又∵ＯＡ＝ＯＣ＝１，∠ＡＯＣ =90°

∴∠OＡＣ=45°

∴∠OＡＣ=∠EOD

又∵∠ＯＢＤ=∠ＡＢＣ

△OBD∽△ABC

（3）設點P的坐標為P（x，）

∴ＯＥ＝x，PＥ＝＝

又∵OE=2PE

∴

解得 （不合題意舍去）

∴Ｐ、Ｄ兩點坐標分別為，　

∴ＰＤ＝

ＯＥ＝

∴

（4）